Question

3．2015年12月6日宁安高铁正式通车后，极大地方便了沿线群众的出行生活．小明与小强都是在芜湖工作的马鞍山人，他们每周五下午都乘坐高铁从芜湖返回马鞍山．因为工作的需要，小明每次都在15：30至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐；小强每次都在16：00至18：30时间段出发的列车中任选一车次乘坐．（假设两人选择车次时都是等可能地随机选取）
（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率；
（Ⅱ）记随机变量X为小明与小强在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）这3天中乘坐的车次相同的次数，求随机变量X的分布列与数学期望．
附：2016年1月10日至1月31日每周五下午芜湖站至马鞍山东站的高铁时刻表．

车次	芜湖发车	到达马鞍山东	耗时
G7174	13：37	14：02	25分钟
G7178	15：05	15：24	19分钟
D5606	15：37	16：02	25分钟
D5608	17：29	17：48	19分钟
G7088	18：29	18：48	19分钟

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“2016年1月29日（周五）小明与小强两人乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件A，由题意，小明可选择的列车有3趟，小强可选择的列车有2趟，其中两人可以同时乘坐的有2趟．由此能求出
小明与小强乘坐相同车次回马鞍山的概率．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，由题意，X～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出随机变量X的分布列与数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“2016年1月29日（周五）小明与小强两人乘坐同一趟列车回马鞍山”为事件A，
由题意，小明可选择的列车有3趟，小强可选择的列车有2趟，其中两人可以同时乘坐的有2趟．
所以$P（A）=\frac{C_2^1}{C_3^1•C_2^1}=\frac{1}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，由题意，X～B（3，$\frac{1}{3}$），
$P（X=0）=C_3^0{（\frac{1}{3}）^0}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{3}）^1}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^1}=\frac{2}{9}$，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^0}=\frac{1}{27}$．…（9分）
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
p	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

$EX=0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}=1$（或$EX=3×\frac{1}{3}=1$）．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．