Question

13．已知函数$f（x）=sin（π-x）sin（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}（π+x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则$f（\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；该函数在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最小值为-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质进行求解即可．

解答 解：$f（x）=sin（π-x）sin（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}（π+x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$f（\frac{π}{4}）$=sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cos$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值，
此时最小值为sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数值的求解以及三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式是解决本题的关键．