Question

3．已知函数f（x）=（2x-1）e^x，g（x）=ax-a（a∈R）．
（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x₀，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和切线的方程，代入（1，0），解方程可得切线的横坐标，进而得到a的值；
（2）令F（x）=e^x（2x-1）-ax+a，x∈R，求出导数，对a讨论，分①当0≤a＜1时，②当a＜0时，判断F（x）的单调性，由不等式即可解得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，
f'（x）=e^x（2x+1），
设切点$（{x_0}，\;\;{e^{x_0}}（2{x_0}-1））$，
则切线的斜率$f'（{x_0}）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）$，
∴切线为：$y-{e^{x_0}}（2{x_0}-1）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）（x-{x_0}）$，
∵y=g（x）恒过点（1，0），斜率为a，且为y=f（x）的一条切线，
∴$0-{e^{x_0}}（2{x_0}-1）={e^{x_0}}（2{x_0}+1）（1-{x_0}）$，
∴${x_0}=0或\frac{3}{2}$，由$a={e^{x_0}}（2{x_0}+1）$，得a=1或$a=4{e^{\frac{3}{2}}}$；
（2）令F（x）=e^x（2x-1）-ax+a，x∈R，F'（x）=e^x（2x+1）-a，
当x≥0时，∵e^x≥1，2x+1≥1，∴e^x（2x+1）≥1，
又a＜1，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，
∵F（0）=-1+a＜0，F（1）=e＞0，则存在唯一的整数x₀=0使得F（x₀）＜0，
即f（x₀）＜g（x₀）；
当x＜0时，为满足题意，F（x）在（-∞，0）上不存在整数使F（x）＜0，
即F（x）在（-∞，-1]上不存在整数使F（x）＜0，
∵x≤-1，∴e^x（2x+1）＜0，
①当0≤a＜1时，F'（x）＜0，∴F（x）在（-∞，-1]上递减，
∴当x≤-1时，$F（x）≥F（-1）=-\frac{3}{e}+2a≥0$，得$a≥\frac{3}{2e}$，
∴$\frac{3}{2e}≤a＜1$；
②当a＜0时，$F（-1）=-\frac{3}{e}+2a＜0$，不符合题意．
综上所述，$\frac{3}{2e}≤a＜1$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和方程，以及单调区间，考查单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．