Question

15．已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验．
（1）求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
（2）现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：混合在一起化验．
请问：哪一种方案更适合（即化验次数的期望值更小）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则ξ～B（2，0.1），由此能求出2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．
（Ⅱ）分别求出三种方案的化验次数的期望值，由此能得到4只动物混合在一起化验更合适．

解答 解：（Ⅰ）设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则ξ～B（2，0.1），
这2只动物中只要有一只血样呈阳性，它们的混合血样呈阳性，
所求概率为p（ξ≥1）=1-P（ξ=0）=1-（1-0.1）²=0.19．
∴2只该种动物的混合血样呈阳性的概率为0.19．
（Ⅱ）方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4次；
方案二：设所需化验次数为X，则X的所有可能取值为2，4，6，
P（X=2）=0.81×0.81=0.6561，
P（X=4）=2×0.81×0.19=0.3076，
P（X=6）=0.19×0.19=0.0361，
∴EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76；
方案三：设所需化验次数为Y，则Y的所有可能取值为1，5，
由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为0.9⁴=0.6561，
∴P（Y=1）=0.6561，
P（Y=5）=1-0.6561，
∴EY=1×0.6561+5×0.3439=2.3756．
∵2.3756＜2.76＜4，
∴4只动物混合在一起化验更合适．

点评 本题主要考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力及应用意识，考查化归与转化、分类讨论思想．