Question

5．已知函数f（x）=x+ax^-1（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=2且f（m）=5．求m²+m^-2的值．
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=2，得f（x）=x+x^-1，从而f（m）=m+m^-1=5，由此能求出m²+m^-2．
（Ⅱ）由已知得当x∈（1，+∞）时，${f}^{'}（x）=1-\frac{a}{{x}^{2}}$＞0恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+ax^-1（a＞0），f（1）=2且f（m）=5．
∴1+a=2，解得a=1，∴f（x）=x+x^-1，
∴f（m）=m+m^-1=5，
∴m²+m^-2=（m+m^-1）²-2=25-2=23．
（Ⅱ）∵f（x）=x+ax^-1（a＞0）在区间（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，${f}^{'}（x）=1-\frac{a}{{x}^{2}}$≥0恒成立，
∴0＜a≤1．
∴实数a的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．