Question

16．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）•cos（x+$\frac{π}{4}$）-2sin²x，x∈R，则函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{3}{2}$，0]．

Answer 1

分析 使用诱导公式和二倍角公式化简f（x），根据三角函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2cos（x-$\frac{π}{4}$）•cos（x-$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos（x-$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos2x-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-（1-2sin²x）-2sin²x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值-$\frac{3}{2}$，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值0．
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，0]．
故答案为[-$\frac{3}{2}$，0]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．