Question

7．在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，若点A（-a，0），B（0，$\frac{a}{3}$），且$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．
①若点P（-3，0），直线l过点（0，-$\frac{6}{7}$），求直线l的方程；
②若直线l过点（0，-1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值；
（2）①由题意可得c=2，a=3，b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；
②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k²，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．

解答 解：（1）设C（m，n），由$\overrightarrow{AB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
可得（a，$\frac{1}{3}$a）=$\frac{3}{2}$（m，n-$\frac{a}{3}$），
可得m=$\frac{2}{3}$a，n=$\frac{5}{9}$a，即C（$\frac{2}{3}$a，$\frac{5}{9}$a），
即有$\frac{4}{9}$+$\frac{25{a}^{2}}{81{b}^{2}}$=1，即为b²=$\frac{5}{9}$a²，
c²=a²-b²=$\frac{4}{9}$a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$；
（2）①由题意可得c=2，a=3，b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
设直线PQ的方程为y=k（x+3），
代入椭圆方程可得（5+9k²）x²+54k²x+81k²-45=0，
x₁+x₂=-$\frac{54{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，PQ的中点H为（-$\frac{27{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，$\frac{15k}{5+9{k}^{2}}$），
由题意可得直线l的斜率为$\frac{\frac{15k}{5+9{k}^{2}}+\frac{6}{7}}{-\frac{27{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
解得k=1或$\frac{5}{9}$，
即有直线l的方程为y=-x-$\frac{6}{7}$或y=-$\frac{9}{5}$x-$\frac{6}{7}$；
②设直线PQ的方程为y=kx+m，
代入椭圆方程可得，（5+9k²）x²+18kmx+9m²-45=0，
可得x₁+x₂=-$\frac{18km}{5+9{k}^{2}}$，
即有PQ的中点为（-$\frac{9km}{5+9{k}^{2}}$，$\frac{5m}{5+9{k}^{2}}$），
由题意可得直线l的斜率为$\frac{\frac{5m}{5+9{k}^{2}}+1}{-\frac{9km}{5+9{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，
化简可得4m=5+9k²，中点坐标即为（-$\frac{9k}{4}$，$\frac{5}{4}$），
由中点在椭圆内，可得$\frac{9{k}^{2}}{16}$+$\frac{5}{16}$＜1，
解得-$\frac{\sqrt{11}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{11}}{3}$，
由直线l的方程为y=-$\frac{1}{k}$x-1，
可得D的横坐标为-k，可得范围是（-$\frac{\sqrt{11}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{11}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用斜率的共线的坐标表示和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．