Question

19．设函数f（x）=$\sqrt{ln（x+1）+2x-a}$（a∈R），若存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，则a的取值范围是[-1，2+ln2]．

Answer 1

分析 由f（f（x₀））=x₀得f^-1（x₀）=f（x₀），根据f（x）与f^-1（x）的对称关系可得f（x₀）=x₀，于是f（x₀）∈[0，1]，分离参数得到a的范围．

解答 解：∵f（f（x₀））=x₀，∴f^-1（x₀）=f（x₀），
∵f^-1（x）和f（x）关于直线y=x对称，∴f（x₀）=x₀，
∵x₀∈[0，1]，∴0≤$\sqrt{ln（{x}_{0}+1）+2{x}_{0}-a}$≤1，即0≤ln（x₀+1）+2x₀-a≤1．
∴ln（x₀+1）+2x₀-1≤a≤ln（x₀+1）+2x₀．
∵存在x₀∈[0，1]使f（f（x₀））=x₀，
∴-1≤a≤2+ln2．
故答案为[-1，2+ln2]

点评 本题考查了反函数的性质，函数最值得计算，属于中档题．