Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（m，2）．$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$十2$\overrightarrow{b}$）．$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-13．
（1）求实数m的值；
（2）求|$\overrightarrow{c}$|的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的条件得出m+2=0，即可求解．（2）根据|$\overrightarrow{c}$|=-$\sqrt{2}$•$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|}$，代入求出即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（m，2），
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（1+2m，5），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$十2$\overrightarrow{b}$）得：1+2m+5=0，解得：m=-3；
（2）由（1）得：$\overrightarrow{b}$=（-3，2），
则cos$\frac{3π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|=-$\sqrt{2}$•$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}|}$=-$\sqrt{2}$×$\frac{-13}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{26}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．