Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=-2，a₂=3，且$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3，则数列{$\frac{{a}_{n}}{3n-5}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 化简可证明数列{a_n+1-3a_n}是以9为首项，3为公比的等比数列，从而可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以-$\frac{2}{3}$为首项，1为公差的等差数列，从而可得$\frac{{a}_{n}}{3n-5}$=$\frac{1}{3}$•3ⁿ=3^n-1，从而解得．

解答 解：∵a₂-3a₁=9≠0，且$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=3；
∴数列{a_n+1-3a_n}是以9为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=9•3^n-1=3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}是以-$\frac{2}{3}$为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=-$\frac{2}{3}$+n-1=$\frac{3n-5}{3}$，
∴a_n=$\frac{3n-5}{3}$•3ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{3n-5}$=$\frac{1}{3}$•3ⁿ=3^n-1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{3n-5}$}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴S_n=$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）；
故答案为：$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及构造法的应用．