Question

9．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，2AB=2AC=AA₁，则异面直线BA₁与B₁C所成的角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BA₁与B₁C所成的角的余弦值．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设2AB=2AC=AA₁=2，
则A₁（0，0，2），B（1，0，0），B₁（1，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，1，-2），
设异面直线BA₁与B₁C所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线BA₁与B₁C所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．