Question

14．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个顶点$A（0，\sqrt{3}）$，离心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E相切于点P，且与直线x=4相交于点Q．求证：以PQ为直径的圆过定点N（1，0）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=e=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，从而求椭圆方程；
（Ⅱ）联立方程消元，从而可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，从而可得m²=4k²+3，故m≠0；从而解出P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），再解出Q（4，4k+m）；证明$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{NQ}$=0即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得
$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=e=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
故a²=4，
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）证明：联立方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与y=kx+m消元得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵曲线E与直线只有一个公共点，
∴△=0，化简可得，
m²=4k²+3，故m≠0；              
设P（x_P，y_P），
故x_P=$\frac{-8km}{2（3+4{k}^{2}）}$=-$\frac{4k}{m}$，y_P=kx_P+m=$\frac{3}{m}$；
故P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），
又由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，Q（4，4k+m）；
∵N（1，0），$\overrightarrow{PN}$=（1+$\frac{4k}{m}$，-$\frac{3}{m}$），$\overrightarrow{NQ}$=（3，4k+m）；
∴$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{NQ}$=3+$\frac{12k}{m}$-$\frac{12k}{m}$-3=0，
∴$\overrightarrow{PN}$⊥$\overrightarrow{NQ}$，
以PQ为直径的圆过定点N（1，0）．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了学生的化简运算能力．