Question

6．已知数列{a_n}满足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$）；
（I）若a₃=$\frac{41}{20}$，求a1的值；
（Ⅱ）若a₁=4，记b_n=|a_n-2|，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a₃=$\frac{41}{20}$，代入可得a₂，a₁．
（2）由a₁=4，a_n+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；可得a_n＞2．a_n+1-a_n=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，{a_n}为单调递减数列．进而得到a_n+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（a_n-2）$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），
${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足：a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{4}{{a}_{n}}$），a₃=$\frac{41}{20}$，
∴$\frac{41}{20}$=$\frac{1}{2}（{a}_{2}+\frac{4}{{a}_{2}}）$，解得a₂=$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$；…（2分）
当${a_2}=\frac{5}{2}$时，解得a₁=1或4…（4分）
当${a_2}=\frac{8}{5}$时，无解．
∴a₁=1或4．…（6分）
（2）∵a₁=4，a_n+1-2=$\frac{1}{2{a}_{n}}$$（{a}_{n}-2）^{2}$＞0；
∴a_n＞2．
∴a_n+1-a_n=$\frac{4-{a}_{n}^{2}}{2{a}_{n}}$＜0，
∴{a_n}为单调递减数列．
∴2＜a_n＜4，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{4}$，
a_n+1-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$（a_n-2）$＜\frac{1}{4}$（a_n-2），
∴${a_n}-2≤{（\frac{1}{4}）^{n-1}}（{a_1}-2）=2•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁-2）+（a₂-2）+…+（a_n-2）≤2+$\frac{2}{4}$+$2×（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$2×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2+$\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$$＜\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．