Question

1．已知函数$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}-1$（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；及对称轴方程
（2）求f（x）在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式最后化为f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）-1$，求出最小正周期和对称轴即可；
（2）求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，从而求出其最大值和最小值即可．

解答 解：（1）$f（x）=cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$cosx（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}-1$
=$\frac{1}{2}sinxcosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}-1$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}-1$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x-1$
=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）-1$，
所以f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
对称轴$x=\frac{5π}{12}+kπ\;k∈Z$
（2）∵$x∈[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}}]$，
当$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$，即$x=\frac{π}{4}$时，
$f{（x）_{max}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{4}$；
当$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{2}$，即$x=-\frac{π}{12}$时，
$f{（x）_{min}}=\frac{1}{2}×（-1）-1=-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．