Question

1．已知O为△ABC内一点，且有$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S₁，S₂，S₃，则S₁：S₂：S₃等于（　　）

• A． 3：2：1
• B． 3：1：2
• C． 6：1：2
• D． 6：2：1

Answer 1

分析 如图所示，延长OB到点E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$为邻边作平行四边形OAFE．则$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OF}$，由于$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得-$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{OD}$．于是$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OD}$，得到S_△ABC=2S_△AOB．同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．即可得出．

解答 解：如图所示，
延长OB到点E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分别以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$为邻边作平行四边形OAFE．
则$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OF}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴-$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，可得$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{OD}$．
于是$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OD}$，
∴S_△ABC=2S_△AOB．
同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．
∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．
故选：C．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、三角形的面积计算公式．