Question

14．函数y=sin（ωx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，若$cos∠APB=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则ω的值为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PM⊥x轴于M，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APM与∠BPM的正弦、余弦函数值，利用cos∠APB=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出ω的值．

解答 解：如图，函数y=sin（ωx+φ），
∴AB=T=$\frac{2π}{ω}$，最大值为1，
过P作PM⊥x轴于M，则AM是四分之一个周期，有AM=$\frac{π}{2ω}$，MB=$\frac{3π}{2ω}$，MP=1，
∴AP=$\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}$，BP=$\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}$，
在直角三角形AMP中，有cos∠APM=$\frac{MP}{AP}$，sin∠APM=$\frac{AM}{AP}$，
在直角三角形BMP中cos∠BPM=$\frac{MP}{BP}$，sin∠BPM=$\frac{BM}{BP}$．
cos∠APB=cos（∠APM+∠BPM）=$\frac{MP}{AP}$•$\frac{MP}{BP}$-$\frac{AM}{AP}•\frac{BM}{BP}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}}$$\frac{\frac{π}{2ω}•\frac{3π}{2ω}}{\sqrt{1+\frac{{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}•\sqrt{1+\frac{9{π}^{2}}{4{ω}^{2}}}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
化简得：64ω⁴-160π²ω²+36π⁴=0，解得ω=$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查三角函数的图象的应用与两角和的余弦函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，是中档题．