Question

14．数列{a_n}，{b_n}的前n项的和分别为A_n、B_n，数列{c_n}满足：c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n．若A₂₀₀₉=41，B₂₀₀₉=
49，则数列{c_n}的前2009项的和C₂₀₀₉=2009．

Answer 1

分析 c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n=（A_n-A_n-1）（B_n-b_n）+（B_n-B_n-1）A_n=A_nB_n-A_n-1B_n-1．利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n=（A_n-A_n-1）（B_n-b_n）+（B_n-B_n-1）A_n
=A_nB_n-A_n-1B_n-1．
∴数列{c_n}的前2009项的和C₂₀₀₉=（A₂₀₀₉B₂₀₀₉-A₂₀₀₈B₂₀₀₈）+（A₂₀₀₈B₂₀₀₈-A₂₀₀₇B₂₀₀₇）+…+（A₂B₂-A₁B₁）+A₁B₁
=A₂₀₀₉B₂₀₀₉
=41×49
=2009．
故答案为：2009．

点评 本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、递推关系的应用，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．