Question

【题目】给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.

（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值为；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）最小值为.

【解析】

（Ⅰ）根据题中的定义可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、两种情况讨论，结合题中定义可证明出；

（Ⅲ）设，利用（Ⅱ）中的结论，结合数列的特征值为，可得出，并证明出，即可求出的最小值.

（Ⅰ）由题知：，，，

的特征值为；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列两种情况讨论：

当、时，

根据定义可知：，

同理可得：.

所以，所以.

当、时，同理可得：

，

所以，所以.

综上有：；

（Ⅲ）不妨设，

，

显然，，

.

当且仅当时取等号；.

当且仅当时取等号；

由（Ⅱ）可知、的较小值为，

所以.

当且仅当时取等号，

此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有

.

下证：若，，总有.

证明：

.

所以.

因此

.

当时，可取到最小值，符合题意.

所以的最小值为.