Question

【题目】已知无穷数列{an}（an∈Z）的前n项和为Sn，记S1，S2，…，Sn中奇数的个数为bn．

（1）若an=n，请写出数列{bn}的前5项；

（2）求证：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件；

（3）若ai=bi，i=1，2，3，…，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．(2)证明见解析；(3) an=0

【解析】

（1）当时,,由此能写出数列的前5项

（2）先证充分性,推导出,从而数列是单调递增数列；再证不必要性,当数列中只有是奇数,其余项都是偶数时,为偶数,（）均为奇数,,数列是单调递增数列,由此能证明：“是奇数,为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件

（3）当为奇数时,推导出不能为偶数；当为偶数,推导出不能是奇数,从而与同奇偶,由此得到

（1）当时,可知数列是等差数列,则,

∴,,,,

∴,,,,

（2）证明：（充分性）

∵是奇数,为偶数,

∴对于任意,都是奇数,

∴,

∴数列是单调递增数列

（不必要性）

当数列中只有是奇数,其余项都是偶数时,为偶数,（）均为奇数，

∴,数列是单调递增数列,

∴“是奇数,为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件

综上，“是奇数,为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件

（3）（i）当为奇数时,若为偶数,

若是奇数,则为奇数,∴为偶数,与矛盾；

若为偶数,则为偶数,∴为奇数,与矛盾

∴当为奇数时,不能为偶数

（ii）当为偶数,若为奇数,

若为奇数,则为偶数,∴为偶数,与矛盾,

若为偶数,则为奇数,∴为奇数,与矛盾,

∴当为偶数时,不能是奇数

综上,与同奇偶,

∵为偶数,且,∴,

∵,且,∴,

以此类推,得到