Question

【题目】已知函数

（1）当x＞0时，证明 ；

（2）当x＞-1且x≠0时，不等式 恒成立，求实数k的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题(1)构造函数，利用导数证明即可；（2）变形后构造函数，利用导数研究函数的单调性，如果导函数研究困难，可以再对导函数求导研究.

(1)令 ，则 ，

当x＞0时，有 ，则 在 是增函数,

从而，时，得证。 5分

（2）不等式可化为，

令，则

，

①当x＞0时，有 ，令 ，则

故在上是减函数，即，

因此， 在上是减函数，从而，

所以，当 时，对应x＞0，有；

②当-1＜x＜0时，由，

令 ，则，

故在上是增函数，即，

因此，在上是减函数。

从而，。

所以，当时，对于，有。 12分

综合①②，当时，在且时，有。 13分