Question

【题目】在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列命题正确的序号是______

①异面直线AB与CD所成角为90°；

②直线AB与平面BCD所成角为60°；

③直线EF∥平面ACD

④平面AFD⊥平面BCD．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

在①中,由AB⊥平面CDE，知异面直线AB与CD所成角为90°；在②中,直线AB与平面BCD所成角为；在③中由EF∥AC,知直线EF∥平面ACD；在④中,由BC⊥平面ADF,知平面AFD⊥平面BCD,从而得到结果

解：正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，

在①中,∵正四面体ABCD中,点E、F分别是AB,BC的中点,

∴CE⊥AB,DE⊥AB,

又,∴AB⊥平面CDE,

∵CD平面CDE,

∴,即异面直线AB与CD所成角为90°,故①正确；

在②中,过A作AO⊥平面BCD,交DF=O,连结BO,

则∠ABO是直线AB与平面BCD所成角,

设正四面体ABCD的棱长为2,

则DF=,BO=,

cos==

∴直线AB与平面BCD所成角为,故②错误；

在③中,∵点E、F分别是AB,BC的中点,

∴EF∥AC,

∵EF平面ACD,AC平面ACD,

∴直线EF∥平面ACD,故③正确；

在④中,由AF⊥BC,DF⊥BC,

又,∴BC⊥平面ADF,

∵BC平面BCD,∴平面AFD⊥平面BCD,故④正确

故答案为：①③④