Question

【题目】已知函数， ．

（1）求函数的极值；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）对函数求导得到 ，讨论和0和1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的概念得到结果；（2）设 ，构造以上函数，研究函数的单调性，求得函数的最值，使得最小值大于等于0即可.

解析：

（Ⅰ），

，

∵的定义域为.

①即时， 在上递减， 在上递增，

， 无极大值.

②即时， 在和上递增，在上递减，

， .

③即时， 在上递增， 没有极值.

④即时， 在和上递增， 在上递减，

∴， .

综上可知： 时， ， 无极大值；

时， ， ；

时， 没有极值；

时， ， .

（Ⅱ）设 ，

，

设，则， ， ，

∴在上递增，∴的值域为，

①当时， ， 为上的增函数，

∴，适合条件.

②当时，∵，∴不适合条件.

③当时，对于， ，

令， ，

存在，使得时， ，

∴在上单调递减，

∴，

即在时， ，∴不适合条件.

综上， 的取值范围为.