Question

6．已知函数f（x）=e^x+e^-x（其中e是自然对数的底数），若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题，即可求实数m的取值范围．

解答 解：若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{x}+{e}^{-x}-1}$在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$在（1，+∞）上恒成立，
∵$\frac{1-t}{{t}^{2}-t+1}$=-$\frac{t-1}{（t-1）^{2}+（t-1）+1}$=-$\frac{1}{t-1+\frac{1}{t-1}+1}$≥-$\frac{1}{3}$，
当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-$\frac{1}{3}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和最值的求法，属于中档题．