Question

17．已知圆⊙O过三点A（-3，-4），B（3，4），C（5，0）．
（1）求⊙O方程．
（2）求过点（-5，-3）的圆⊙O的切线方程．
（3）过△ABC的重心T作⊙O互相垂直的两条弦PQ，GH，求四边形PGQH面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，A，B，C到原点的距离为5，即可求⊙O方程．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，求过点（-5，-3）的圆⊙O的切线方程．
（3）四边形PGQH面积S=$\frac{1}{2}PQ×$GH=2PM×GN=$2\sqrt{25-O{M^2}}×\sqrt{25-O{N^2}}$，又$O{M^2}+O{N^2}={（\frac{5}{3}）^2}$，即可求出四边形PGQH面积的最大值．

解答 解：（1）由题意，A，B，C到原点的距离为5，∴⊙O方程为x²+y²=25；
（2）斜率不存在时，x=-5，符合题意；
斜率存在时，设直线方程为y+3=k（x+5），即kx-y+5k-3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|5k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，∴k=-$\frac{8}{15}$，切线方程为8x+15y+49=0
综上，过点（-5，-3）的圆⊙O的切线方程为x=-5或8x+15y+49=0；
（3）重心$T（\frac{5}{3}，0）$，假设过T作两互相垂直的弦分别是PQ，GH，弦PQ中点为M，弦GH中点为N，
所以四边形PGQH面积S=$\frac{1}{2}PQ×$GH=2PM×GN=$2\sqrt{25-O{M^2}}×\sqrt{25-O{N^2}}$，
又$O{M^2}+O{N^2}={（\frac{5}{3}）^2}$，所以四边形PGQH面积的最大值为$\frac{425}{9}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．