Question

已知f(x)=loga(4x+

a

x

)在区间[1，2]上为增函数，则a的取值范围是______．

Answer 1

f(x)=loga(4x+

a

x

)可看作由y=log_at与t=4x+

a

x

复合而成的，x∈[1，2]时，4x+

a

x

＞0．
①当a＞1时，y=log_at单调递增，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+

a

x

，x∈[1，2]，单调递增，
所以t′=4-

a

x2

≥0即a≤4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤4×1²=4，则1＜a≤4；
②当时，y=log_at单调递减，因为f（x）单调递增，则须有t=4x+

a

x

，x∈[1，2]，单调递减，
所以t′=4-

a

x2

≤0即a≥4x²在x∈[1，2]上恒成立，所以a≥4×2²=16，与0＜a＜1矛盾．
综上，a的取值范围是（1，4]．
故答案为：（1，4]．