Question

在△ABC总，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

sinC

sinA

=

a2+c2-b2

a2

（1）求角B的大小；
（2）设T=sin²A+sin²C，求T的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，整理后利用余弦定理求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）将T关系式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后用A表示出B，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用余弦函数的图象与性质即可求出T的范围．

解答：解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：

c

a

=

a2+c2-b2

a2

，
整理得：

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，即cosB=

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=60°；
（2）T=sin²A+sin²C=

1

2

（1-cos2A）+

1

2

（1-cos2C）
=1-

1

2

（cos2A+cos2C）=1-

1

2

[cos2A+cos（240°-2A）]=1-

1

2

（

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1-

1

2

cos（2A+60°），
∵0＜A＜120°，∴60°＜2A+60°＜300°，
∴-1≤cos（2A+60°）＜

1

2

，
则

3

4

＜T≤

3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．