Question

如图直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B-EB′F的体积取得最大值时，异面直线A′F与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先由线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直的性质证明即可．
（2）利用函数求最值的方法，求解最值时符合的条件，再求解．

解答：解：（Ⅰ）连接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，∴B'C⊥BC'
又∵AB⊥BC，BB'⊥AB，∴AB⊥平面BB'C'C
∴B'C⊥AB，BC′∩AB=B
∴B'C⊥平面ABC'，又∵C'E?平面ABC'
∴B'C⊥C'E
（Ⅱ）设AE=BF=m，∵直三棱柱ABC-A′B′C′，∴BB′为三棱锥B-EB′F的高，底面△BEF为直角三角形，
∴三棱椎B'-EBF的体积为V=

1

2

m(3-m)≤

(m+3-m)2

4

=

9

8

．
当m=

3

2

时取等号，故当m=

3

2

即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，
∵此时EF∥AC，∴∠A'FE|为异面直线AC与C′F所成的角；
∵EF=

3 2

2

，AF=A′E=

3 5

2

，A′F=

9

2

，
∴|cos∠A′FE|=

2

2

．

点评：本题考查异面直线所成的角，及线面垂直的判定与性质．