Question

如图所示，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=a，AB⊥平面BCD，AB=

3a

，E，F分别是AC，AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
（3）在（2）成立时，求BD与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的性质求解．（3）利用线面所成角的定义求解．

解答：解：（1）证明：因为AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又在△ACD中，E，F分别是AC，AD上的动点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，
又EF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面ABC．
（2）由（1）知EF⊥平面ABC，
BE?平面ABC，
∴BE⊥EF，假设面BEF⊥面ACD，
则BE⊥平面ACD，AC?平面ACD，
所以BE⊥AC，
∵BC=CD=a，∠BCD=90°，
∴BD=

2

a，∴AC=

AB2+BC2

=2a，
由AB2=AE•AC⇒AE=

3

2

a⇒λ=

AE

AC

=

3

4

．

（3）过点C作CM⊥面BCD，并建立空间坐标系如图，则B（a，0，0），D（0，a，0），A（a，0，

3

a），
由（1）（2）知AC⊥平面BEF，所以平面BEF的一个法向量为

CA

=(a，0，

3

a)，则

BD

=(-a，a，0)，
所以|

CA

|=2a，|

BD

|=

2

a，
设BD与平面BEF所成角的为θ，则sinθ=|cos＜

CA

，

BD

＞|=|

CA ? BD

| CA || BD |

|=|

-a2

2a? 2 a

|=

2

4

．
即BD与平面BEF所成角的正弦值等于

2

4

．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定和性质，要求熟练掌握相关的判定定理和性质定理，是解决本题的关键．