Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4

3

，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN?平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．
（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P-ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P-ABCD的体积．

解答：证明：（Ⅰ）在△ABD中，
∵AD=4，BD=4

3

，AB=8，∴AD²+BD²=AB²．
∴AD⊥BD．（2分）
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．
又∵CM：MP=1：2，
∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）
∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
即PO为四棱锥P-ABCD的高．（11分）
又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=

3

2

×4=2

3

．（12分）
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

4×4 3

8

=2

3

，此即为梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面积SABCD=

4+8

2

×2

3

=12

3

．（14分）
故VP-ABCD=

1

3

×12

3

×2

3

=24．（15分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，平面与平面垂直的判定，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，以及计算能力，是中档题．