Question

选修4-1：几何证明选讲：
如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．

Answer 1

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．
∠POF=2∠OAF，
而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，
∴∠POF=∠PEC
又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC
在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，
∠PGC=∠PEC，
∴△PGC∽△FOC，
∴PC•OC=GC•FC，
又CD²=GC•FC，
∴PC•OC=CD²
∴△PDC∽△DOC．
∴∠PDC=∠DOC，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠PDC+∠ODC=90°，
∴PD是⊙O的切线．
分析：连接OD，延长FC交圆与G，连接GB，如图．先由圆的性质证得△PEC∽△POF，得∠POF=∠PEC=∠PGC，进而由相似三角形的判定定理证得△PGC∽△FOC，最后结合相交弦定理证出△PDC∽△DOC，即可得出PD是⊙O的切线．
点评：本题主要考查了切线的性质，相交弦定理，相似三角形等知识点的综合应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．