Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点，
(Ⅰ) 求证：AC⊥SD；
(Ⅱ) 若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)连结BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD。 
(Ⅱ)设正方形边长a，则，
又，所以∠SOD=60°，
连结OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
所以AC⊥OP，且AC⊥OD，
所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，
所以∠POD=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°。
(Ⅲ)在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC，由（Ⅱ）可得，
故可在SP上取一点N，使PN=PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连结BN，
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。