Question

设直线l：x－y＋m＝0与抛物线C：y2＝4x交于不同两点A，B，F 为抛物线的焦点．

(1)求△ABF的重心G的轨迹方程；

(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圆的方程．

 

Answer 1

(1)y＝(2)2＋2＝

【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，重心G(x，y)，

⇒y2－4y＋4m＝0，

∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，

故

∴重心G的轨迹方程为y＝.

(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x0，y0，)

∴y0＝＝2，∴x0＝y0－m＝2－m＝4，

那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，

令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，

又|AB|＝|y1－y2|＝4，C到AB的距离为d＝，∴|CA|＝|CF|⇒(2)2＋2＝(a－1)2＋(6－a)2⇒a＝，

∴C点的坐标为，∴|CF|2＝2＋2＝，

∴所求的圆的方程为2＋2＝.