Question

18．在△ABC中，边a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（1）求B₀的值；
（2）当B=B₀，a=1，c=3，D为AC的中点时，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得B₀的值；
（2）由已知结合余弦定理求得cosC的值，进而利用余弦定理即可解得BD的值．

解答 解：（1）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=$\frac{a+c}{2}$．
由余弦定理知，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-（\frac{a+c}{2}）^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）-2ac}{8ac}$≥$\frac{3（2ac）-2ac}{8ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，
∴B的最大值B₀=$\frac{π}{3}$；
（2）∵B=B₀=$\frac{π}{3}$，a=1，c=3，
∴在三角形ABC中，b²=a²+c²-2accosB=7，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∴在三角形BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}-2•BC•CD•cosC}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}-2×1×\frac{\sqrt{7}}{2}×（-\frac{\sqrt{7}}{14}）}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．