Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}$（n≥1，n∈Z）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，求出相邻两项的关系式，推出数列{na_n}从第二项起，是以2 为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简所求数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．

解答 解：（1）∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}=\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}$（n∈N^*）
∴${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}=\frac{n}{2}{a_n}$（n≥2）
两式相减得$n{a_n}=\frac{n+1}{2}{a_{n+1}}-\frac{n}{2}{a_n}$
∴$\frac{{（n+1）{a_{n+1}}}}{{n{a_n}}}=3$（n≥2）
∴数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列
∴$n{a_n}=2•{3^{n-2}}$（n≥2）
故${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ \frac{2}{n}•{3^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$
（2）由（1）可知当n≥2时，${n^2}{a_n}=2n•{3^{n-2}}$
当n≥2时，${T_n}=1+4•{3^0}+6•{3^1}+…+2n•{3^{n-2}}$，
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+（2n-1）•3^n-2+2n•3^n-1（n≥2）
两式相减可得-2T_n=1+1•3⁰+2•3¹+2•3²+…+2•3^n-2-2n•3^n-1=2×$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3^n-1，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+（n-\frac{1}{2}）{3^{n-1}}$，（n≥2）
又T₁=a₁=1也满足上式，
∴${T_n}=\frac{1}{2}+（n-\frac{1}{2}）{3^{n-1}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．