Question

【题目】已知函数 ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，4﹣8x≥0，

则23x≤22，即3x≤2，解得x≥ ，

所以函数f（x）的定义域是（﹣∞， ]；

又4﹣8x＜4，所以 ，

即函数f（x）的值域为[0，2）

（2）解：由f（x）≤1得， ，

则0≤4﹣8x≤1，即3≤8x≤4，

两边取以8为底的对数，解得 ，

所以不等式的解集是

【解析】（1）由解析式列出不等式，由指数的运算性质求出函数的定义域，由指数函数的性质求出值域；（2）由解析式化简f（x）≤1，利用对数函数的性质求出不等式的解集．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数的值域的理解，了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．