Question

已知命题p：x∈A，且A={x|a-1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x²-4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；
（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）B={x|x²-4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a-1＜x＜a+1}，
由A∩B=∅，A∪B=R，得

a-1=1 a+1=3

，得a=2，
所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a-1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评：本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．