Question

20．已知扇形AOB，点C在弧AB上（异于A，B两点），线段AB与OC交与点M，设$\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+3t\overrightarrow{OB}（{t≠0}）$，$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}（{m≠0}）$，则m=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据条件及向量加法、减法，及数乘的几何意义及其运算便可得到$\overrightarrow{OM}=（1-m）\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}$，从而有$\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OM}=k（1-m）\overrightarrow{OA}+km\overrightarrow{OB}$，由平面向量基本定理便得到$\left\{\begin{array}{l}{k（1-m）=t}\\{km=3t}\end{array}\right.$，解出m即可．

解答 解：如图，$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}+m（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$（1-m）\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}$；

O，M，C三点共线；
∴存在实数k，$\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OM}$=$k（1-m）\overrightarrow{OA}+mk\overrightarrow{OB}$；
又$\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OA}+3t\overrightarrow{OB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（1-m）=t}\\{mk=3t}\end{array}\right.$；
解得$m=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 考查向量加法、减法，及数乘的几何意义及其运算，平面向量基本定理，以及共面向量基本定理．