Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{log₂a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，公差不为0的等差数列{b_n}的前n项和T_n满足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c为常数），且b₃=24．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式以及S_n，T_n的表达式；
（2）记数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为Q_n，试比较Q_n与$\frac{{S}_{n}}{2}$的大小关系．

Answer 1

分析 （1）由于数列{log₂a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可得：log₂a_n=-n，a_n．利用等比数列的前n项和公式可得：S_n．
由于公差不为0的等差数列{b_n}的前n项和T_n满足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c为常数），且b₃=24．可得b₁=cb₂，T₂=b₁+b₂=2cb₃=48c，解得b₁，b₂，利用2b₂=b₁+b₃，解出c即可得出，进而得出T_n．
（2）$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”可得数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为Q_n，通过作差Q_n-$\frac{{S}_{n}}{2}$即可比较出大小关系．

解答 解：（1）∵数列{log₂a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
∴log₂a_n=-1-（n-1）=-n，
∴a_n=2^-n．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∵公差不为0的等差数列{b_n}的前n项和T_n满足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c为常数），且b₃=24．
∴b₁=cb₂，T₂=b₁+b₂=2cb₃=48c，解得b₁=$\frac{48{c}^{2}}{c+1}$，b₂=$\frac{48c}{c+1}$，
∵2b₂=b₁+b₃，
∴$\frac{96c}{c+1}$=$\frac{48{c}^{2}}{c+1}$+24，
化为2c²-3c+1=0，
解得c=1或$\frac{1}{2}$．
c=1时，d=0，舍去．
∴c=$\frac{1}{2}$．
∴b₁=8，b₂=16，
∴公差=16-8=8．
∴b_n=8+8（n-1）=8n．
T_n=$\frac{1}{2}n×8（n+1）$=4n²+4n．
（2）$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为Q_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．
Q_n-$\frac{{S}_{n}}{2}$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$-$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{2n+2}）$，
∵$\frac{1}{{2}^{n}}$$≤\frac{1}{2}$，$\frac{n+2}{2n+2}$$＞\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{2n+2}）$＜0，
∴Q_n＜$\frac{{S}_{n}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、比较方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．