Question

4．已知锐角△ABC的三内角A，B，C成等差数列，对应边长分别为a，b，c，满足a-c=4，且cos（A-C）=$\frac{7}{8}$，则AC边上的高BD=11．

Answer 1

分析 三内角A，B，C成等差数列，可解得B=60°，A-C=2（A-B），在BC上取BD等于c，设∠CAD=θ，则，A-C=2（A-B）=2θ，∠CDA=120°，由cos（A-C）=cos2θ=$\frac{7}{8}$，解得sinθ，由正弦定理可得b，由余弦定理可得ac=b²-16，根据${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，即可得解．

解答 解：∵锐角三角形的内角A，B，C成等差数列，
则有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∴A-C=2（A-B），
如图，在BC上取BD等于c，设∠CAD=θ，AC边上的高BD=h，
则，A-C=2（A-B）=2θ，∠CDA=120°，
∴cos（A-C）=cos2θ=$\frac{7}{8}$，解得：cosθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，sin$θ=\frac{1}{4}$，
∴△ADC中，由正弦定理可得：$\frac{b}{sin∠ADC}=\frac{a-c}{sinθ}$，即b=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}$=8$\sqrt{3}$．
∵由余弦定理可得：cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，又a-c=4，
∴ac=b²-16．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$，可得：h=$\frac{acsinB}{b}$=$\frac{{b}^{2}-16}{b}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{192-16}{8\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=11．
故答案为：11．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查．