Question

在△ABC中，已知sinA=

1

5

，sinB=

1

10

则其最长边与最短边的比为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：运用正弦定理，可得A＞B，讨论A为钝角和锐角时，由诱导公式和两角和的正弦公式求得sinB，再由直线定理确定最大边和最小边，即可得到比值．

解答： 解：由

1

5

＞

1

10

，则sinA＞sinB，
由正弦定理，可得a＞b，即有A＞B，
B为锐角，A可能为锐角或钝角，
若A为钝角，则cosA=-

2

5

，cosB=

3

10

，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3

10

-

2

5

×

1

10

=

1

50

，
由sinB＞sinC，即有b＞c．
故c最小，a最大，即有a：c=sinA：sinC=

10

：1；
若A为锐角，则cosA=

2

5

，cosB=

3

10

，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3

10

+

2

5

×

1

10

=

1

2

，
由sinC＞sinA＞sinB，则有c最大，b最小．
则c：b=sinC：sinB=

5

：1．
故答案为：

10

：1或

5

：1．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用，考查三角形的边角关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．