Question

【题目】设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，则说明理由；

（3）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（3）

【解析】试题分析：（1）求函数的定义域、导函数，由， 可求单调区间；（2）由（1）可求函数在上的单调性，进而求最大值、最小值。由不等式恒成立，得 ，解不等式组可求m的范围；（3）构造函数= ，求其导函数，进而求单调性、最大、最小值，由关于的方程在上恰有两个相异实根，转化为，进而不等式组求实数的取值范围.

试题解析：（1）由得函数的定义域为.

.

由，得；由，得.

∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）由（1）知， 在上单调递减，在上单调递增.∴.

又， ,且，

∴时， .

∵不等式恒成立，

∴，

即

.

∵是整数，∴.

∴存在整数，使不等式恒成立.

（3）由，得.

令， ，则， .

由，得；由得.

∴在上单调递减，在上单调递增.

∵方程在上恰有两个相异实根，

∴函数在和上各有一个零点.

∴

.

∴实数的取值范围是.