Question

【题目】已知函数，，.

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；

（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） 取得极大值，无极小值;（2） ;（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）当时，求函数的导数以及导数的零点，并判断零点两侧的单调性，求得极值；（2）根据条件将问题转化为，当时恒成立，采用参变分离的方法，得到；（3）设点A,B的坐标，表示两点连线的斜率，以及中点处的导数，得到，可将此式变形为关于的函数，转化为判定函数是否有零点的问题.

试题解析：解：（1）的定义域为,，

故单调递增；单调递减，

时，取得极大值，无极小值.

（2），，

若函数在上单调递减，则对恒成立

∴，只需

∵时，，则，，

故，的取值范围为.

（3）假设存在，不妨设，

由得，整理得

令，，

在上单调递增，

，故, 不存在符合题意的两点.