[题目]对于无穷数列和函数.若.则称是数列的母函数.(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意.都有.且,又数列满足. (1)求证: 是数列的母函数,(2)求数列的前项和.(Ⅱ)已知是数列的母函数.且.若数列的前项和为.求证: . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.

（1）求证：是数列的母函数；

（2）求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证： .

【答案】(Ⅰ)(1)证明见解析；(2) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)(1)由题意结合母函数的定义即可证得结论；

(2)由题意错位相减可得；

(Ⅱ)由题意结合不等式的特点即可证得题中的结论.

试题解析：

（Ⅰ）(1)由题知，且

是数列的母函数；

(2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.

①

②

两式相减得： .

（Ⅱ）由题知：， .

从而是以为首项，为公比的等比数列

又

故当时

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