Question

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，可利用根与系数的关系得出a_n+a_n+1=2ⁿ，法一：观察发现an+1-

1

3

×2n+1=-(an-

1

3

×2n)，由此方程可以得出数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列，由此数列的性质求出它的通项，再求出a_n，
法二：a_n+a_n+1=2ⁿ，两边同除以（-1）ⁿ⁺¹，得

an+1

(-1)n+1

-

an

(-1)n

=-(-2)n，令cn=

an

(-1)n

，则c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．得到新数列的递推公式，再由累加法求出c_n，即可求出a_n，
（2）由（1）的结论，先求出数列{a_n}的前n项和，代入b_n-λS_n＞0，此不等式对任意n∈N^*都成立，可用分离常数法的技巧，将不等式变为λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，求出

1

6

(2n+1+1)的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在

解答：解：（1）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，
∴

an+an+1=2n   bn=anan+1

求数列{a_n}的通项公式，给出如下二种解法：
解法1：由a_n+a_n+1=2ⁿ，得an+1-

1

3

×2n+1=-(an-

1

3

×2n)，
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．
∴an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]．
解法2：由a_n+a_n+1=2ⁿ，两边同除以（-1）ⁿ⁺¹，得

an+1

(-1)n+1

-

an

(-1)n

=-(-2)n，
令cn=

an

(-1)n

，则c_n+1-c_n=-（-2）ⁿ．
故c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=-1-（-2）-（-2）²-（-2）³-…-（-2）^n-1=-1-

(-2)•[1-(-2)n-1]

1-(-2)

=

1

3

[(-2)n-1]（n≥2）．
且c1=

a1

-1

=-1也适合上式，∴

an

(-1)n

=

1

3

[(-2)n-1]，即an=

1

3

[2n-(-1)n]．
∴b_n=a_na_n+1=

1

3

[2n-(-1)n]×

1

3

[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2)n-1]
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

3

{(2+22+23+…+2n)-[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]}=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．
要使b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0（*）对任意n∈N^*都成立．
1当n2为正奇数时，由（*）式得

1

9

[22n+1+2n-1]3-

λ

3

(2n+1-1)＞04，
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立．
当且仅当n=1时，

1

3

(2n+1)有最小值1．
∴λ＜1．
②当n为正偶数时，由（*）式得

1

9

[22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，
即

1

9

(2n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0，
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立．
当且仅当n=2时，

1

6

(2n+1+1)有最小值

3

2

．
∴λ＜

3

2

．
综上所述，存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，λ的取值范围是（-∞，1）．

点评：本是考查数列与不等式的综合，此类题一般难度较大，解题的关键是熟练掌握不等式证明的技巧与数列通项求和的技巧，本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，对于不等式恒成立求参数的问题，本题采用了分离常数法的思想将参数独立出来，通过求关于n的代数式的最小值求出参数的取值范围，本题考查了转化化归的思想，方程的思想，构造法的技巧，综合性强，技巧性强，题后应注意总结本题解法上的规律