如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通过车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少? (2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果均� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通过车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?

(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?

(半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米)

1、隧道的拱宽约为33.3米

2、故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

解析:

(1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为+=1,将b=h=6与点P的坐标代入椭圆方程,得a=,此时l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱宽约为33.3米.

(2)方法一:由椭圆方程+=1,得+=1.

因为+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.

当S取最小值时,有==,

得a=11,b=,

此时l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

方法二:由椭圆方程+=1,得+=1.

于是b²=·.

a²b²=［a²-121++242］

≥(2+242)=81×121,

即ab≥99,当S取最小值时,

有a²-121=,

得a=11,b=,以下同方法一.

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？
（已知：椭圆

=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的

倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如下图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.