Question

如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通过车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?

(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?

(半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米)

Answer 1

解：(1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为+=1,将b=h=6与点P的坐标代入椭圆方程,得a=,此时l=2a=≈33.3.

因此隧道的拱宽约为33.3米.

(2)方法一:由椭圆方程+=1,得+=1.

因为+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.

当S取最小值时,有==,

得a=11,b=,

此时l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.

方法二:由椭圆方程+=1,得+=1.

于是b²=·.

a²b²=［a²-121++242］

≥(2+242)=81×121,

即ab≥99,当S取最小值时,

有a²-121=,

得a=11,b=,以下同方法一.