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已知定义在R上的奇函数f(x)=
-2x+b
2x+1+a

(1)求a、b的值;
(2)若不等式-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若函数g(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求方程g(x)=0的所有解.
分析:(1)由题意,函数在R上是奇函数,由于其在原点有定义故一定有f(0)=0,再结合f(-1)=-f(1),由此两方程即可求出a、b的值;
(2)本小题的不等式恒成立,故可由(1)解出的函数解析式求出函数的最值,将恒成立的不等式-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
转化成 
-m2+(k+2)m-
3
2
≤-
1
2
m2+2km+k+
5
2
1
2
对 m∈R恒成立,再由二次函数的性质研究此不等式组,解出参数K的取值范围;
(3)由题设条件函数是周期为2的奇函数,故可先研究其一个周期上的零点,再由周期性得出所有的零点,由于函数是奇函数易得f(0)=0,再由周期性的性质与奇函数的性质可得出
f(-1)=f(1)
f(-1)=-f(1)
由此解得f(-1)=f(1)=0,由此知一个周期上的零点,再由周期性得出结论
解答:解:(1)由于f(x)为R上的奇函数,故 f(0)=0,得 b=1…(1分)
则 f(x)=
1-2x
2x+1+a

由 f(-1)=-f(1)得
1-
1
2
1+a
=-
1-2
4+a
,解得 a=2
a=2
b=1
…(4分)
(2)由(1)f(x)=
1-2x
2x+1+2
=-
1
2
+
1
2x+1

由 2x+1>1知 0<
1
2x+1
<1

则 -
1
2
<f(x)<
1
2
…(6分)
要使-m2+(k+2)m-
3
2
<f(x)<m2+2km+k+
5
2
对一切实数x及m恒成立
则需且只需 
-m2+(k+2)m-
3
2
≤-
1
2
m2+2km+k+
5
2
1
2
对 m∈R恒成立
即 
m2-(k+2)m+1≥0
m2+2km+k+2≥0
对 m∈R恒成立 …(8分)
只需 
1=(k+2)2-4≤0
2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0…(9分)
(3)当x∈(-1,1)时g(x)=f(x)-x=-
1
2
+
1
2x+1
-x

显然
1
2x+1
及-x均为减函数,故g(x)在(-1,1)上为减函数 …(11分)
由于g(0)=0,故在(-1,1)内g(x)=0有唯一根x=0
由于g(x)周期为2,由此有x∈(2k-1,2k+1)内有唯 一根x=2k(k∈N)(1)…(12分)
综合得x=2k(k∈N)为g(x)=0的根
又因为g(-1)=g(-1+2)=g(1)得-g(1)=g(1)
故g(1)=0,因此得g(2k+1)=0(k∈N)(2)…(13分)
综合(1)(2)有g(x)=0的所有解为一切整数 …(14分)
点评:本题考查函数恒成立的问题,函数恒成立的问题由于其抽象,推理难度大,方法不易得出而使得解此类题比较困难,解此类题,理解题意,对题设中所给的恒成立的关系进行准确转化是解题的关键,本题考查了转化的思想,对探究意识要求较高,在高考试卷上多以压轴题的形式出现,由于此类题思维难度过大,新教材实验区已多年没有出现这样的题了
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1
b
1
a
]
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A.            B.

C.            D.

 

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(     )

(A)     (B)      (C)      (D)

 

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