Question

已知向量

a

=(1，0)，

b

=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=

a • b

| a |+| b |

．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则：
①当a=1时，证明：an＞

1

2n

；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+S_n≠0时，
证明：

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≥

4a-Sn

Sn

或

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≤

Sn

4a-Sn

．

Answer 1

分析：（1）由题意得f(x)=

x

1+ 1+x2

，令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，则f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

，函数f（x）的值域为（0，1）．由此能求出原函数的反函数．
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

．
①【法一】三角代换：令a_n=tanα_n，因为a_n＞0，且a₁=1所以α1=

π

4

，αn∈(0，

π

2

)，所以an+1=tanαn+1=

tanαn

1+ 1+tan2αn

=

sinαn

1+cosαn

=tan

αn

2

，由此能够证明an=tan

π

2n+1

＞

π

2n+1

＞

1

2n

．
【法二】不等式放缩：因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），故an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1，由此能够证明an＞

1

2n-1

＞

1

2n

．
②【法一】an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a．由S_n＜2a，能够证明证明

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≥

4a-Sn

Sn

或

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≤

Sn

4a-Sn

．
【法二】因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＞2an+1，从而an+1＜

1

2

an．由S_n＜2a，能够证明证明

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≥

4a-Sn

Sn

或

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≤

Sn

4a-Sn

．

解答：解：由题意得f(x)=

x

1+ 1+x2

（x＞0）
令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，则f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y=

x

1+ 1+x2

⇒y-x=y

1+x2

⇒y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得x=

2y

1-y2

，所以原函数的反函数y=f-1(x)=

2x

1-x2

（0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

①【法一】三角代换    令a_n=tanα_n，因为a_n＞0，且a₁=1所以α1=

π

4

，αn∈(0，

π

2

)
所以an+1=tanαn+1=

tanαn

1+ 1+tan2αn

=

sinαn

1+cosαn

=tan

αn

2

由于αn∈(0，

π

2

)，所以αn+1=

αn

2

(n∈N*)
故数列{α_n}为等比数列，其首项为α1=

π

4

，公比为q=

1

2

，所以αn=

π

4

•

1

2n-1

于是an=tan

π

2n+1

＞

π

2n+1

＞

1

2n

，此处用到不等式x＜tanx(x∈(0，

π

2

))
【法二】不等式放缩    因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1
进而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n-1=2n于是an＞

1

2n-1

＞

1

2n

②【法一】an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a
由S_n＜2a，则易得

4a-Sn

Sn

＞

Sn

4a-Sn

，又S_n＞0
则要证

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≥

4a-Sn

Sn

或

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≤

Sn

4a-Sn

等价于证明(

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

-

4a-Sn

Sn

)•(

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

-

Sn

4a-Sn

)≥0
化简等价于

(4a(2a-Sn))2•(1-sin2θ)

Sn•(4a-Sn)•(2asinθ-2a+Sn)2

≥0，此式在0＜S_n＜2a的条件下成立；
【法二】因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＞2an+1，从而an+1＜

1

2

an从而S_n＜2a．
则易得

4a-Sn

Sn

＞

Sn

4a-Sn

，又S_n＞0
则要证

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≥

4a-Sn

Sn

或

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

≤

Sn

4a-Sn

等价于证明(

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

-

4a-Sn

Sn

)•(

2asinθ+2a-Sn

2asinθ-2a+Sn

-

Sn

4a-Sn

)≥0
化简等价于

(4a(2a-Sn))2•(1-sin2θ)

Sn•(4a-Sn)•(2asinθ-2a+Sn)2

≥0，此式在0＜S_n＜2a的条件下成立；

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用三角函数知识，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．