Question

16．函数y=cosxsin2x的最小值为（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
• C． -2
• D． -$\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得y=-2sin³x+2sinx，令sinx=t，则t∈[-1，1]，导数法y=-2t³+2t在[-1，1]的最小值可得．

解答 解：由三角函数公式化简可得y=cosxsin2x
=cosx•2sinxcosx=2sinxcos²x
=2sinx（1-sin²x）
=-2sin³x+2sinx，
令sinx=t，则t∈[-1，1]，
对y=-2t³+2t求导数可得y′=-6t²+2，
令y′=-6t²+2≥0可得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=-2t³+2t在[-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]单调递减，
在[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]单调递增，在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]单调递减，
∴当t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，y=-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
当t=1时，y=0＞-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
∴原函数的最小值为-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$
故选：B．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及导数法求三次函数在闭区间的最值，属中档题．