Question

6．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．已知曲线y=f（x） 在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y-1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示，p，q中的较小值），求函数m（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得a=1；
（Ⅱ）运用分段函数的形式写出m（x）的解析式，分别讨论各段的单调性和最值，即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由题意知，切线与直线x+2y-1=0垂直，
则曲线f（x）=（x+a）lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
所以f′（1）=2，
又f′（x）=lnx+$\frac{a}{x}$+1，即有a+1=2，
所以a=1；
（II）设h（x）-f（x）=（x+1）lnx-$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
当x∈（0，1]时，h（x）＜0．
又h（2）=3ln2-$\frac{4}{{e}^{2}}$=ln8-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞1-1=0，
所以存在x0∈（1，2），使h（x0）=0．
因为h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1+$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$，
所以当x∈（1，2）时，h′（x）＞1-$\frac{1}{e}$＞0，
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以当x＞1时，h（x）单调递增．
所以k=1时，方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根x₀．
当x∈（0，x₀）时，f（x）＜g（x），x∈（x₀，+∞）时，f（x）＞g（x），
所以m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{{x}^{2}}{{e}^{2}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$．
当x∈（0，x₀）时，若x∈（0，1]，m（x）≤0，
若x∈（1，x₀），由m′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1＞0，可知0＜m（x）≤m（x₀），故m（x））≤m（x₀），
当x∈（x₀，+∞）时，由m′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$，
可得x∈（x₀，2）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
x∈（2，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；
可知m（x）≤m（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，且m（x₀）＜m（2）．
综上可得函数m（x）的最大值为$\frac{4}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算求解能力，属于中档题．